Másodfokú egyenlet ábrázolása: 10 lépés (képekkel)

2024 Szerző: Robert Blare | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-02-02 02:07

Ábrázoláskor az űrlap másodfokú egyenletei fejsze² + bx + c vagy a (x - h)² + k sima U-alakú vagy fordított U-alakú görbét adjon, amelyet parabolanak neveznek. A másodfokú egyenlet ábrázolásakor meg kell találni a csúcsát, az irányát, és gyakran az x és y metszetét. Viszonylag egyszerű másodfokú egyenletek esetén az is elegendő lehet, ha x értéktartományt csatlakoztatunk, és a kapott pontok alapján görbét rajzolunk. A kezdéshez lásd az alábbi 1. lépést.

Lépések

1. lépés Határozza meg, hogy milyen másodfokú egyenlete van

A másodfokú egyenlet három különböző formában írható fel: a standard forma, a csúcsforma és a másodfokú forma. Bármely űrlappal másodfokú egyenletet ábrázolhat; az egyes ábrázolás menete kissé eltér. Ha házi feladatot végez, akkor általában a két forma egyikében kapja meg a problémát - más szóval, nem tud választani, ezért a legjobb, ha mindkettőt megérti. A másodfokú egyenlet két formája:

• Alapforma.

  Ebben a formában a másodfokú egyenletet így írjuk fel: f (x) = ax² + bx + c ahol a, b és c valós számok, és a nem egyenlő nullával.

  Például két szabványos másodfokú egyenlet: f (x) = x² + 2x + 1 és f (x) = 9x² + 10x -8.

• Csúcsforma.

  Ebben a formában a másodfokú egyenletet a következőképpen írjuk fel: f (x) = a (x - h)² + k ahol a, h és k valós számok, és a nem egyenlő nullával. A csúcsformát azért nevezték el, mert h és k közvetlenül megadják a parabola csúcspontját (központi pontját) a (h, k) pontban.

  Két csúcsforma egyenlet: f (x) = 9 (x - 4)² + 18 és -3 (x - 5)² + 1

• Az ilyen típusú egyenletek bármelyikének ábrázolásához először meg kell találnunk a parabola csúcsát, amely a görbe "csúcsán" lévő központi pont (h, k). A csúcs koordinátáit szabványos formában a következők adják meg: h = -b/2a és k = f (h), míg csúcsformában h és k az egyenletben vannak megadva.

2. lépés. Határozza meg a változókat

A másodfokú feladat megoldásához általában meg kell határozni az a, b és c változókat (vagy a, h és k). Egy átlagos algebrafeladat másodfokú egyenletet ad a változókkal, általában szabványos formában, de néha csúcs formában.

• Például az f (x) = 2x szabványos egyenlethez² + 16x + 39, akkor a = 2, b = 16 és c = 39.
• A csúcsforma egyenletéhez f (x) = 4 (x - 5)² + 12, a = 4, h = 5 és k = 12.

3. lépés Számítsa ki a h értéket

A csúcs alakú egyenletekben a h értékét már megadtuk, de a szabványos alakú egyenletekben ezt ki kell számítani. Ne feledje, hogy a szabványos alakú egyenleteknél h = -b/2a.

• Szabványos példánkban (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Megoldva azt találjuk, hogy h = - 4.
• A csúcsformánk példájában (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), h = 5 -t tudunk matematika nélkül.

4. lépés Számítsa ki a k -t

A h -hoz hasonlóan a k már a csúcsalakú egyenletekben is ismert. A szabványos alakú egyenleteknél ne feledje, hogy k = f (h). Más szóval, megtalálja a k -t, ha az egyenlet x minden példányát lecseréli a h értékre.

• Standard példánkban megállapítottuk, hogy h = -4. A k megtalálásához megoldjuk egyenletünket az x értékét helyettesítő h értékkel:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    7. lépés.

• A csúcsformájú példánkban ismét tudjuk k értékét (ami 12), anélkül, hogy számolnunk kellene.

5. lépés. Ábrázolja a csúcspontját

A parabola csúcsa a (h, k) pont lesz - h megadja az x koordinátát, míg k az y koordinátát. A csúcs a parabola középpontja - vagy egy "U" alja, vagy egy fejjel lefelé "U" teteje. A csúcs ismerete elengedhetetlen része a pontos parabola ábrázolásának - gyakran az iskolai munkában a csúcs megadása kötelező kérdés lesz.

• Szabványos példánkban a csúcsunk (-4, 7) lesz. Tehát a parabolánk 4 mezőt tetőz majd balra a 0 és 7 szóköz felett (0, 0). Ezt a pontot ábrázolni kell a grafikonunkon, feltétlenül feltüntetve a koordinátákat.
• A csúcsforma példánkban a csúcsunk (5, 12). Ki kell ábrázolnunk egy pontot 5 mezőt jobbra és 12 mezőt fölé (0, 0).

6. lépés. Rajzolja fel a parabola tengelyét (opcionális)

A parabola szimmetriatengelye a középen húzódó egyenes, amely tökéletesen felére osztja. Ezen a tengelyen keresztül a parabola bal oldala tükrözi a jobb oldalt. A négyszög alakú fejszéhez² + bx + c vagy a (x - h)² + k, a tengely az y-tengellyel párhuzamos egyenes (más szóval tökéletesen függőleges), és áthalad a csúcson.

A standard űrlappéldánk esetében a tengely az y tengelykel párhuzamos és a (-4, 7) ponton áthaladó egyenes. Bár ez nem része a parabolának, ennek a vonalnak a halvány megjelölése a grafikonon végül segít abban, hogy lássa, hogyan szimmetrikusan görbül a parabola

7. lépés. Keresse meg a nyitás irányát

Miután kitaláltuk a parabola csúcsát és tengelyét, utána tudnunk kell, hogy a parabola felfelé vagy lefelé nyílik -e. Szerencsére ez könnyű. Ha az "a" pozitív, a parabola felfelé nyílik, míg az "a" negatív, a parabola lefelé nyílik (azaz fejjel lefelé fordul).

• A standard űrlap példánkhoz (f (x) = 2x² + 16x + 39), tudjuk, hogy felfelé nyíló parabola van, mert egyenletünkben a = 2 (pozitív).
• Példánk a csúcsformára (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), tudjuk, hogy van egy felfelé nyíló parabolánk is, mert a = 4 (pozitív).

8. lépés. Ha szükséges, keresse meg és ábrázolja az x elfogásokat

Az iskolai feladatok során gyakran megkérik, hogy keressen egy parabola x-metszetét (amely egy vagy két pont, ahol a parabola találkozik az x tengelyével). Még ha nem is találja meg őket, ez a két pont felbecsülhetetlen értékű lehet a pontos parabola rajzolásához. Azonban nem minden parabola rendelkezik x-elfogással. Ha a parabola egy csúcsával felfelé nyílik, és van egy csúcsa az x tengely felett, vagy ha lefelé nyílik, és van egy csúcsa az x tengely alatt, nem lesz x elfogása. Ellenkező esetben oldja meg az x elfogásait az alábbi módszerek egyikével:

• Egyszerűen állítsa be az f (x) = 0 értéket, és oldja meg az egyenletet. Ez a módszer működhet egyszerű másodfokú egyenletekhez, különösen csúcsformában, de bonyolultabbaknál rendkívül nehéznek bizonyul. Példát lásd alább

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 és 13 a parabola x-metszetei.

• Faktorálja az egyenletét. Néhány egyenlet a fejszében² + bx + c forma könnyen beépíthető a (dx + e) (fx + g) formába, ahol dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx és e × g = c. Ebben az esetben az x elfogásai az x értékei, amelyek mindkét kifejezést zárójelben teszik = 0. Például:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Ebben az esetben az egyetlen x elkapásod -1, mert az x egyenlő -1 -el történő zárása esetén a zárójelben lévő összes feltétel bármelyike 0 lesz.

• Használja a másodfokú képletet. Ha nem tudja könnyen megoldani az x elfogásait, vagy tényezőjét az egyenletnek, akkor használjon egy speciális egyenletet, az úgynevezett másodfokú képletet, amelyet erre a célra terveztek. Ha még nem, akkor írja be egyenletét az ax alakba² + bx + c, majd csatlakoztassa a, b és c az x = (-b +/- SqRt (b) képlethez² - 4ac))/2a. Ne feledje, hogy ez gyakran két választ ad az x -re, ami rendben van - ez csak azt jelenti, hogy a parabola két x elfogással rendelkezik. Példát lásd alább:

  • -5x² A + 1x + 10 a következőképpen kapcsolódik a másodfokú képlethez:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14,18)/-10
  • x = (13,18/-10) és (-15,18/-10). A parabola x metszéspontja megközelítőleg x = - 1.318 és 1.518
  • Korábbi példánk, 2x² A + 16x + 39 a következőképpen kapcsolódik a másodfokú képlethez:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10)
  • Mivel a negatív szám négyzetgyökének megtalálása lehetetlen, ezt tudjuk nincs x elfogás létezik erre a parabolara.

9. lépés. Ha szükséges, keresse meg és ábrázolja az y metszést

Bár gyakran nem szükséges megtalálni az egyenlet y metszéspontját (azt a pontot, amelyen a parabola áthalad az y tengelyen), de szükség lehet rá, különösen, ha iskolában vagy. Ez a folyamat meglehetősen egyszerű - csak állítsa be az x = 0 értéket, majd oldja meg f (x) vagy y egyenletét, amely megadja azt az y értéket, amelyen a parabola áthalad az y tengelyen. Az x elfogásokkal ellentétben a standard paraboláknak csak egy y elfogása lehet. Megjegyzés - a standard alakú egyenleteknél az y metszéspont y = c.

• Például ismerjük 2x másodfokú egyenletünket² A + 16x + 39 y metszéssel rendelkezik y = 39 -nél, de a következőképpen is megtalálható:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. A parabola y metszete itt van y = 39.

    Amint fentebb említettük, az y metszéspont y = c.

• Csúcsformánk 4 (x - 5) egyenlet² A + 12 -nek van egy y metszete, amely a következőképpen található:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. A parabola y metszete itt van y = 112.

10. lépés. Ha szükséges, rajzoljon további pontokat, majd grafikonozzon

Az egyenletnek most egy csúcsával, irányával, x metszetével, és esetleg y metszetével kell rendelkeznie. Ezen a ponton vagy megpróbálhatja megrajzolni a parabolaját a rendelkezésére álló pontok segítségével, vagy további pontokat találhat a parabola „kitöltéséhez”, hogy a rajzolt görbe pontosabb legyen. Ennek legegyszerűbb módja, ha egyszerűen beilleszt néhány x értéket a csúcs mindkét oldalára, majd ábrázolja ezeket a pontokat a kapott y értékek segítségével. Gyakran a tanárok megkövetelik, hogy bizonyos számú pontot szerezzenek, mielőtt kirajzolnák a paraboláját.

• Nézzük újra az x egyenletet² + 2x + 1. Már tudjuk, hogy egyetlen x metszete x = -1. Mivel csak egy ponton érinti az x metszést, következtethetünk arra, hogy csúcsa az x metszete, ami azt jelenti, hogy csúcsa (-1, 0). Gyakorlatilag csak egy pontunk van ehhez a parabolahoz - közel sem elegendő egy jó parabola rajzolásához. Keressünk még néhányat annak biztosítására, hogy pontos grafikont rajzoljunk.

  • Keressük meg az y értékeket a következő x értékekhez: 0, 1, -2 és -3.
  • 0 esetén: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. A mi pontunk az (0, 1).

  • 1 esetén: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. A lényeg az (1, 4).

  • -2 esetén: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. A mi pontunk az (-2, 1).

  • -3 esetén: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. A mi pontunk az (-3, 4).

  • Rajzolja fel ezeket a pontokat a grafikonra, és rajzolja meg az U alakú görbéjét. Ne feledje, hogy a parabola tökéletesen szimmetrikus - ha a pontjai a parabola egyik oldalán egész számokra vonatkoznak, általában megspórolhat magának egy munkát, ha egyszerűen tükröz egy adott pontot a parabola szimmetriatengelyén, és megtalálja a megfelelő pontot a másik oldalon a parabola.

Videó - A szolgáltatás használatával bizonyos információk megoszthatók a YouTube -lal

Tippek

• Megjegyezzük, hogy f (x) = ax² + bx + c, ha b vagy c nulla, akkor ezek a számok eltűnnek. Például 12x² + 0x + 6 12x lesz² + 6, mert a 0x 0.
• Kerekítse a számokat, vagy használjon törteket, ahogy az algebra tanára mondja. Ez segít a másodfokú egyenletek megfelelő ábrázolásában.