A parabola egy másodfokú függvény grafikonja, és sima "U" alakú görbe. A parabolák szimmetrikusak is, ami azt jelenti, hogy egy vonal mentén összehajthatók, így a hajtogatási vonal egyik oldalán lévő összes pont egybeesik a hajtogatási vonal másik oldalán lévő megfelelő pontokkal. A hajtogatási vonal, amelyet szimmetriatengelynek neveznek, a verexen áthaladó függőleges vonal. A parabola bármely pontja egyenlő távolságra van egy fix ponttól (a fókusz) és egy fix egyenestől (a direktrix). A parabola ábrázolásához meg kell találnia a csúcsát, valamint a csúcs mindkét oldalán található több pontot, hogy megjelölje a pontok által vezetett utat.
Lépések
Rész 1 /2: Parabola ábrázolása
1. lépés. Értse meg a parabola részeit
A kezdés előtt kaphat bizonyos információkat, és a terminológia ismerete segít elkerülni a szükségtelen lépéseket. Íme a parabola azon részei, amelyeket tudnia kell:
- A Fókusz. Rögzített pont a parabola belsejében, amelyet a görbe formális meghatározására használnak.
- A directrix. Rögzített, egyenes vonal. A parabola azoknak a pontoknak a lókusza (sorozata), amelyekben bármelyik pont egyenlő távolságra van a fókusztól és a direktektől. (Lásd a fenti diagramot.)
- A szimmetria tengelye. Ez egy egyenes, amely áthalad a parabola fordulópontján ("csúcsán"), és egyenlő távolságra van a parabola két karjának megfelelő pontjaitól.
- A csúcs. Azt a pontot, ahol a szimmetriatengely keresztezi a parabolt, a parabola csúcsának nevezzük. Ha a parabola felfelé vagy jobbra nyílik, a csúcs a görbe minimális pontja. Ha lefelé vagy balra nyílik, a csúcs egy maximális pont.
2. Ismerje meg a parabola egyenletét
A parabola általános egyenlete y = ax2+ bx + c. Írható még általánosabb formában is: y = a (x - h) ² + k, de itt az egyenlet első formájára összpontosítunk.
- Ha az a együttható pozitív az egyenletben, akkor a parabola felfelé nyílik (függőlegesen orientált parabola esetén), mint az "U" betű, és csúcsa minimális pont. Ha az a negatív, a parabola lefelé nyílik, és csúcspontja van a maximális pontján. Ha nehezen emlékszik erre, gondolja így: egy pozitív értékű egyenlet mosolyra hasonlít; a negatív értékű egyenlet homlokráncolásra hasonlít.
- Tegyük fel, hogy a következő egyenlete van: y = 2x2 -1. Ez a parabola "U" alakú lesz, mert a (2) érték pozitív.
- Ha az egyenletnek négyzetes y tagja van a négyzet x tag helyett, akkor a parabola vízszintes irányú lesz, és oldalra nyílik, jobbra vagy balra, mint egy "C" vagy egy "C". Például az y parabola2 = x + 3 jobbra nyílik, mint egy "C".
3. lépés. Keresse meg a szimmetria tengelyét
Ne feledje, hogy a szimmetriatengely a parabola fordulópontján (csúcsán) áthaladó egyenes. Függőleges (felfelé vagy lefelé nyíló) parabola esetén a tengely megegyezik a csúcs x koordinátájával, ami annak a pontnak az x-értéke, ahol a szimmetriatengely keresztezi a parabolyt. A szimmetriatengely megkereséséhez használja ezt a képletet: x = -b/2a.
- A fenti példában (y = 2x² -1), a = 2 és b = 0. Most kiszámíthatja a szimmetriatengelyt a számok bedugásával: x = -0 / (2) (2) = 0.
- Ebben az esetben a szimmetriatengely x = 0 (ami a koordináta sík y tengelye).
4. lépés. Keresse meg a csúcsot
Ha ismeri a szimmetriatengelyt, akkor beillesztheti ezt az értéket x -be, hogy megkapja az y koordinátát. Ez a két koordináta megadja a parabola csúcsát. Ebben az esetben a 0 -t 2x kell csatlakoztatnia2 -1, hogy megkapjuk az y koordinátát. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. A csúcs (0, -1), és a parabola -1 -nél keresztezi az y tengelyt.
A csúcs koordinátáit néha (h, k) néven ismerjük. Ebben az esetben h 0, k pedig -1. A parabola egyenlete y = a (x - h) ² + k alakban írható fel. Ebben a formában a csúcs a pont (h, k), és nem kell számolnia, hogy megtalálja a csúcsot a grafikon helyes értelmezésén túl
5. lépés. Állítson fel egy táblázatot az x kiválasztott értékeivel
Hozzon létre egy táblázatot, amelynek x értékei vannak az első oszlopban. Ez a táblázat megadja az egyenlet ábrázolásához szükséges koordinátákat.
- Az x középső értéke legyen a szimmetriatengely "függőleges" parabola esetén.
- A szimmetria érdekében legalább két, az x középső értéke alatti és feletti értéket kell feltüntetnie a táblázatban.
- Ebben a példában tegye a szimmetriatengely értékét (x = 0) a táblázat közepére.
6. lépés. Számítsa ki a megfelelő y-koordináták értékeit
Helyettesítse az x minden értékét a parabola egyenletében, és számítsa ki y megfelelő értékeit. Illessze be ezeket a y számított értékeket a táblázatba. Ebben a példában az y értékeit a következőképpen kell kiszámítani:
- X = -2 esetén y kiszámítása: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- X = -1 esetén y kiszámítása: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- X = 0 esetén y kiszámítása: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- X = 1 esetén y kiszámítása: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- X = 2 esetén y kiszámítása: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
7. lépés. Szúrja be az y számított értékeit a táblázatba
Most, hogy legalább öt koordinátapárt talált a parabolahoz, majdnem készen áll a grafikon elkészítésére. Munkája alapján most a következő pontok vannak: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Ne feledje, hogy a parabola a szimmetria tengelyéhez képest visszaverődik (szimmetrikus). Ez azt jelenti, hogy a pontok y -koordinátái egyenesen a szimmetriatengelyen keresztül azonosak lesznek. A -2 és +2 x-koordináták y-koordinátái egyaránt 7; az x-koordináták -1 és +1 y-koordinátái egyaránt 1, és így tovább.
Lépés 8. Ábrázolja a táblázat pontjait a koordinátasíkon
A táblázat minden sora egy koordinátapárt (x, y) képez a koordinátasíkon. Az összes pontot ábrázolja a táblázatban megadott koordinátákkal.
- Az x tengely vízszintes; az y tengely függőleges.
- Az y tengelyen a pozitív számok a pont felett vannak (0, 0), a negatív számok az y tengelyen pedig a pont alatt (0, 0).
- Az x tengelyen a pozitív számok a ponttól jobbra (0, 0), a negatív számok az x tengelyen pedig a ponttól balra (0, 0) találhatók.
9. lépés. Csatlakoztassa a pontokat
A parabola ábrázolásához kösse össze az előző lépésben ábrázolt pontokat. Ebben a példában a grafikon úgy néz ki, mint egy U. Csatlakoztassa a pontokat enyhén ívelt (nem egyenes) vonalakkal. Ezzel létrejön a legpontosabb kép a parabolaról (amely legalább kissé ívelt a teljes hosszában). A parabola mindkét végén tetszés szerint rajzolhat a csúcsról elfelé mutató nyilakat. Ez azt jelzi, hogy a parabola a végtelenségig folytatódik.
2/2. Rész: Egy parabola grafikonjának eltolása
Ha gyorsparancsot szeretne elérni egy parabola eltolásához anélkül, hogy újra meg kellene találnia a csúcspontját, és több pontot kell újra rajzolnia rajta, akkor meg kell értenie, hogyan kell olvasni a parabola egyenletét, és meg kell tanulnia függőlegesen vagy vízszintesen eltolni. Kezdje az alapparabolával: y = x2. Ennek csúcsa (0, 0), és felfelé nyílik. A következő pontok: (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) és (2, 4). Egy parabola eltolható az egyenlete alapján.
1. lépés. Egy parabola eltolása felfelé
Tekintsük az y = x egyenletet2 +1. Ez az eredeti parabola felfelé tolódik 1 egységgel. A csúcs most (0, 1) a (0, 0) helyett. Megtartja az eredeti parabola pontos alakját, de minden y-koordináta felfelé tolódik 1 egységgel. Tehát (-1, 1) és (1, 1) helyett ábrázoljuk a (-1, 2) és (1, 2) ábrákat.
2. lépés. Parabolát tolja lefelé
Vegyük az y = x egyenletet2 -1. Az eredeti parabola lefelé tolódik 1 egységgel, így a csúcs most (0, -1) lesz (0, 0) helyett. Továbbra is ugyanolyan alakú lesz, mint az eredeti parabola, de minden y-koordinátát 1 egységgel lefelé tolunk. Tehát például (-1, 1) és (1, 1) helyett ábrázoljuk a (-1, 0) és (1, 0) ábrákat.
Lépés 3. Toljon el egy parabola balra
Tekintsük az y = (x + 1) egyenletet2. Ez az eredeti parabolát egy egységgel balra tolja. A csúcs most (-1, 0) a (0, 0) helyett. Megtartja az eredeti parabola alakját, de minden x-koordinátát egy egységgel balra tol. Például a (-1, 1) és (1, 1) helyett a (-2, 1) és a (0, 1) ábrázoljuk.
4. lépés. Parabellát toljon jobbra
Tekintsük az y = (x - 1) egyenletet2. Ez az eredeti parabola egy egységgel jobbra tolva. A csúcs most (1, 0) a (0, 0) helyett. Megtartja az eredeti parabola alakját, de minden x-koordinátát eltol a jobb egységre. A (-1, 1) és (1, 1) helyett például a (0, 1) és (2, 1) ábrákat ábrázoljuk.
