A racionális függvény olyan egyenlet, amely y = N (x)/D (x) formát ölt, ahol N és D polinomok. Ha pontos grafikont szeretne készíteni egy kézzel, akkor átfogóan áttekintheti a gimnázium legfontosabb matematikai témáit, az alapvető algebratól a differenciálszámításig. Tekintsük a következő példát: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Lépések
1. lépés. Keresse meg az y elfogót
Egyszerűen állítsa be az x = 0 értéket. Az állandó kifejezések kivételével minden eltűnik, és y = 5/2 marad. Ezt koordinátapárként kifejezve (0, 5/2) egy pont a grafikonon. Ábrázolja ezt a pontot.
2. lépés. Keresse meg a vízszintes aszimptotát
Hosszan ossza fel a nevezőt a számlálóra, hogy meghatározza y viselkedését x nagy abszolút értékei esetén. Ebben a példában az osztás azt mutatja, hogy y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Nagy pozitív vagy negatív x értékek esetén a 17/(8 x + 4) megközelíti a nullát, és a grafikon megközelíti az y = (1/2) x - (7/4) egyenest. Szaggatott vagy enyhén megrajzolt vonal segítségével ábrázolja ezt a vonalat.
- Ha a számláló foka kisebb, mint a nevezőé, akkor nincs felosztás, és a aszimptóta y = 0.
- Ha deg (N) = deg (D), akkor az aszimptóta vízszintes vonal a vezető együtthatók arányában.
- Ha deg (N) = deg (D) + 1, akkor az aszimptóta egy egyenes, amelynek meredeksége a vezető együtthatók aránya.
- Ha deg (N)> deg (D) + 1, akkor nagy | értékek esetén x |, y gyorsan másod-, köb- vagy magasabb fokú polinomként pozitív vagy negatív végtelenbe megy. Ebben az esetben valószínűleg nem érdemes pontosan ábrázolni az osztás hányadosát.
3. lépés. Keresse meg a nullákat
Egy racionális függvénynek nulla, ha a számlálója nulla, ezért állítsa be N (x) = 0. A példában 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Ennek a másodfoknak a diszkriminánsa b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36-40 = -4. Mivel a diszkrimináns negatív, N (x) és következésképpen f (x) nem rendelkezik valódi gyökerekkel. A gráf soha nem keresztezi az x tengelyt. Ha nullákat talált, akkor adja hozzá ezeket a pontokat a grafikonhoz.
4. lépés. Keresse meg a függőleges aszimptotákat
Függőleges aszimptóta akkor fordul elő, ha a nevező nulla. A 4 x + 2 = 0 beállítás megadja az x = -1/2 függőleges vonalat. Az egyes függőleges aszimptotákat ábrázolja világos vagy szaggatott vonallal. Ha az x valamely értéke N (x) = 0 -t és D (x) = 0 -t tesz, akkor lehet, hogy nincs függőleges aszimptóta. Ez ritka, de nézze meg a tippeket, hogyan kell kezelni, ha előfordul.
5. lépés: Nézze meg a felosztás fennmaradó részét a 2. lépésben
Mikor pozitív, negatív vagy nulla? A példában a maradék számlálója 17, ami mindig pozitív. A nevező, 4 x + 2, a függőleges aszimptotától jobbra pozitív, balra negatív. Ez azt jelenti, hogy a grafikon az x nagy pozitív értékeihez fentről, alulról pedig az x nagy negatív értékeihez közelíti a lineáris aszimptotát. Mivel a 17/(8 x + 4) soha nem lehet nulla, ez a gráf soha nem metszi az y = (1/2) x - (7/4) egyenest. Ne adjon hozzá semmit a grafikonhoz, de vegye figyelembe ezeket a következtetéseket később.
6. lépés. Keresse meg a helyi szélsőségeket
Helyi extrémum akkor fordulhat elő, ha N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. A példában N '(x) = 4 x - 6 és D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Bővülő, kombináló kifejezések és 4 levéllel való osztás x 2 + x - 4 = 0. A másodfokú képlet x = 3/2 és x = -5/2 közeli gyököket mutat. (Ezek körülbelül 0,06 -tal különböznek a pontos értékektől, de a grafikonunk nem lesz elég pontos ahhoz, hogy aggódjon az ilyen részletesség miatt. A megfelelő racionális közelítés kiválasztása megkönnyíti a következő lépést.)
7. lépés. Keresse meg az egyes helyi extremumok y -értékeit
Csatlakoztassa az előző lépés x értékeit az eredeti racionális függvényhez, hogy megtalálja a megfelelő y értékeket. A példában f (3/2) = 1/16 és f (-5/2) = -65/16. Adja hozzá ezeket a pontokat (3/2, 1/16) és (-5/2, -65/16) a grafikonhoz. Mivel az előző lépésben közelítettünk, ezek nem a minimumok és a maximumok, de valószínűleg közel vannak. (Tudjuk, hogy (3/2, 1/16) nagyon közel van a helyi minimumhoz. A 3. lépéstől tudjuk, hogy y mindig pozitív, ha x> -1/2, és találtunk egy 1/16 értéket, így legalább ebben az esetben a hiba valószínűleg kisebb, mint a vonal vastagsága.)
8. lépés: Csatlakoztassa a pontokat, és simán nyújtsa ki a grafikont az ismert pontokról az aszimptotákra, ügyelve arra, hogy a megfelelő irányból közelítsen hozzájuk
Ügyeljen arra, hogy ne keresztezze az x tengelyt, kivéve a 3. lépésben már megtalálható pontokat. Ne lépje át a vízszintes vagy lineáris aszimptotát, kivéve azokat a pontokat, amelyeket az 5. lépésben már találtak. az előző lépésben tapasztalt szélsőség.
Videó - A szolgáltatás használatával bizonyos információk megoszthatók a YouTube -lal
Tippek
- Ezen lépések némelyike magában foglalhatja a nagyfokú polinom megoldását. Ha nem talál pontos megoldásokat faktorizációval, képletekkel vagy más eszközökkel, akkor becsülje meg a megoldásokat numerikus technikákkal, például Newton módszerével.
- Ha sorrendben követi a lépéseket, általában nem szükséges második derivált teszteket vagy hasonló, potenciálisan bonyolult módszereket használni annak megállapítására, hogy a kritikus értékek helyi maximumok, helyi minimumok vagy egyik sem. Először próbálja felhasználni a korábbi lépésekből származó információkat és egy kis logikát.
- Ha csak precalculus metódusokkal próbálja ezt megtenni, akkor a helyi szélsőségek megtalálásával kapcsolatos lépéseket lecserélheti több további (x, y) rendezett pár kiszámításával az egyes aszimptotapárok között. Alternatív megoldásként, ha nem érdekli, miért működik, nincs ok arra, hogy egy előre kalkulált tanuló ne vegye fel a polinom deriváltját, és ne oldja meg N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0.
-
Ritka esetekben a számlálónak és a nevezőnek közös nem állandó tényezője lehet. Ha követi a lépéseket, ez nulla és függőleges aszimptotaként jelenik meg ugyanazon a helyen. Ez lehetetlen, és ami valójában történik, az alábbiak egyike:
- Az É (x) nulla nagyobb szorzattal rendelkezik, mint a D (x) nulla. Az f (x) grafikonja ezen a ponton megközelíti a nullát, de ott nincs meghatározva. Ezt a pont körül nyílt körrel jelezd.
- Az É (x) nulla és a D (x) nulla többszöröse. A gráf valamilyen nullától eltérő pontot közelít ehhez az x értékhez, de ott nincs meghatározva. Ismét jelezze ezt nyílt körrel.
- Az N (x) nulla többszöröse kisebb, mint a D (x) nullája. Itt van egy függőleges aszimptóta.
