Az Apollóni-tömítés egyfajta fraktálkép, amely egyetlen nagy körben található, egyre zsugorodó körökből áll. Az Apollón tömítés minden köre érintő a szomszédos körökkel - más szóval az Apollóniai tömítés körök végtelenül kicsi pontokon érintkeznek. A Perga Apollonius görög matematikusról elnevezett ilyen típusú fraktál ésszerű bonyolultsággal rajzolható (kézzel vagy számítógéppel), gyönyörű, feltűnő képet alkotva. A kezdéshez lásd az alábbi 1. lépést.
Lépések
Rész 1 /2: A kulcsfogalmak megértése
Hogy teljesen világos legyünk, ha egyszerűen csak egy Apollón -tömítés rajzolása érdekel, nem feltétlenül szükséges a fraktál mögött rejlő matematikai alapelvek kutatása. Ha azonban mélyebb megértést szeretne az Apollonian Gaskets -ről, fontos megérteni több olyan fogalom definícióját, amelyeket a megbeszélés során használunk.
1. lépés. Határozza meg a kulcsfogalmakat
Az alábbi utasításokban a következő kifejezéseket használják:
- Apollóniai tömítés: A fraktál típusok több nevének egyike, amely körök sorozatából áll, amelyek egy nagy kör belsejében vannak egymásba ágyazva, és érintettek a közelben lévő összes többihez. Ezeket "Soddy -köröknek" vagy "Csókköröknek" is nevezik.
- Kör sugara: A kör középpontjától a széléig terjedő távolság. Általában az r változót rendeli hozzá.
- Egy kör görbülete: A sugár pozitív vagy negatív inverze, vagy ± 1/r. A görbület pozitív, ha a kör külső görbületével foglalkozunk, és negatív a belső görbülettel.
- Érintő: Egy végtelenül kicsi pontban metsző egyenesekre, síkokra és alakzatokra alkalmazott kifejezés. Az Apollón -tömítéseknél ez arra a tényre utal, hogy minden kör csak egy ponton érinti a közeli köröket. Vegye figyelembe, hogy nincs metszéspont - az érintő alakzatok nem fedik egymást.
2. lépés: Ismerje meg Descartes tételét
Descartes tétele egy képlet, amely hasznos az Apollón -tömítésben lévő körök méretének kiszámításához. Ha bármely három kör görbületét (1/r) a, b, illetve c -ként definiáljuk, akkor a Tétel szerint a kör (vagy körök) görbülete mindhárom érintő, amelyet d -ként határozunk meg.: d = a + b + c ± 2 (négyzet (a × b + b × c + c × a)).
Céljainkban általában csak akkor használjuk a kapott választ, ha plusz jelet teszünk a négyzetgyök elé (más szóval… + 2 (sqrt (…))). Egyelőre elegendő tudni, hogy a kivonás Az egyenlet formája más kapcsolódó feladatokban is használható
2/2. Rész: Az Apollón -tömítés felépítése
Az apollóniai tömítések zsugorodó körök gyönyörű fraktál elrendezései. Matematikailag az Apollonian Gaskets végtelen bonyolultsággal rendelkezik, de akár számítógépes rajzolóprogramot, akár hagyományos rajzeszközöket használ, végül eléri azt a pontot, amikor lehetetlen kisebb köröket rajzolni. Ne feledje, hogy minél pontosabban rajzol köröket, annál jobban elfér a tömítésben.
1. lépés Gyűjtse össze digitális vagy analóg rajzeszközeit
Az alábbi lépésekben elkészítjük saját egyszerű Apollonian tömítésünket. Lehetőség van kézzel vagy a számítógépen rajzolni az Apollón tömítéseket. Mindkét esetben tökéletesen kerek köröket szeretne rajzolni. Ez meglehetősen fontos. Mivel az Apollóni -tömítés minden köre tökéletesen érintő a mellette lévő körökkel, a még kissé eldeformált körök is "eldobhatják" a végterméket.
- Ha a tömítést számítógépen rajzolja, szüksége lesz egy olyan programra, amely lehetővé teszi, hogy könnyen rögzítsen egy meghatározott sugarú köröket egy központi pontból. Használható a Gfig, a GIMP ingyenes képszerkesztő program vektoros rajzbővítménye, valamint sok más rajzolóprogram is (lásd a megfelelő linkeket az anyagok részben). Valószínűleg szüksége lesz egy számológépes alkalmazásra és egy szövegszerkesztő dokumentumra, vagy egy fizikai jegyzettömbre a görbületekről és a sugarakról történő jegyzeteléshez.
- A tömítés kézi rajzolásához szüksége lesz egy számológépre (tudományos vagy grafikus javaslat), ceruzára, iránytűre, vonalzóra (lehetőleg egy milliméteres jelzésű skálára, grafikonpapírra és jegyzetfüzetre.
2. lépés. Kezdje egy nagy körrel
Az első feladatod egyszerű - rajzolj egy nagy, tökéletesen kerek kört. Minél nagyobb a kör, annál bonyolultabb lehet a tömítése, ezért próbáljon olyan nagy kört készíteni, amennyit a papírja megenged, vagy akkora, amennyit a rajzprogram egy ablakában könnyen lát.
Lépés 3. Hozzon létre egy kisebb kört az eredeti belsejében, az egyik oldal érintője
Ezután rajzoljon egy másik kört az elsőbe, amely kisebb, mint az eredeti, de még mindig elég nagy. A második kör pontos mérete rajtad múlik - nincs megfelelő méret. Céljaink szerint azonban rajzoljuk meg a második körünket úgy, hogy pontosan a nagy külső körünk fele érjen. Más szavakkal, rajzoljuk le a második körünket úgy, hogy a középpontja a nagy kör sugarának felezőpontja legyen.
Ne feledje, hogy az Apollóni tömítéseknél minden kör, amely érint, érintőlegesen hat egymásra. Ha iránytűvel rajzolja körét kézzel, akkor hozza létre ezt a hatást úgy, hogy az iránytű éles hegyét a nagy külső kör sugarának közepére helyezi, és úgy állítja be a ceruzáját, hogy az csak érintse a nagy kör szélét, majd megrajzolja a kisebb belső körét
Lépés 4. Rajzoljon azonos kört a kisebb belső körrel szemben
Ezután rajzoljunk egy másik kört az elsővel szemben. Ennek a körnek érintőnek kell lennie mind a nagy külső körrel, mind a kisebb belső körrel, ami azt jelenti, hogy a két belső kör a nagy külső kör pontos középpontjában fog érintkezni.
5. lépés. Alkalmazza Descartes -tételt a következő körök méretének meghatározásához
Hagyjuk abba a rajzot egy pillanatra. Most, hogy három kör van a tömítésünkben, használhatjuk Descartes tételét a következő kör sugarának meghatározásához. Ne feledje, hogy Descartes tétele az d = a + b + c ± 2 (négyzet (a × b + b × c + c × a)), ahol a, b és c három érintőkörének görbülete, d pedig mindhárom érintő körének görbülete. Tehát, hogy megtaláljuk a következő körünk sugarát, keressük meg az eddigi körök görbületét, hogy megtaláljuk a következő kör görbületét, majd alakítsuk át a sugarára.
-
Határozzuk meg külső körünk sugarát
1. lépés.. Mivel a többi kör ezen belül van, a belső görbületével (nem pedig a külső görbületével) foglalkozunk, és ezért tudjuk, hogy görbülete negatív. -1/r = -1/1 = -1. A nagy kör görbülete - 1.
-
A kisebb körök sugara fele akkora, mint a nagy köré, más szóval 1/2. Mivel ezek a körök érintkeznek egymással és a nagy körrel a külső szélükkel, a külső görbületükkel foglalkozunk, így a görbületeik pozitívak. 1/(1/2) = 2. A kisebb körök görbülete mindkettő
2. lépés..
-
Most már tudjuk, hogy a = -1, b = 2 és c = 2 a Descartes -féle tétel egyenletéhez. Oldjuk meg d -re:
- d = a + b + c ± 2 (négyzet (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (négyzet (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (négyzet (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Következő körünk görbülete az
3. lépés.. Mivel 3 = 1/r, a következő körünk sugara 1/3.
6. lépés. Hozd létre a következő köröket
Használja az éppen talált sugárértéket a következő két kör rajzolásához. Ne feledje, hogy ezek érintők lesznek azokhoz a körökhöz, amelyek görbületét a, b és c értékekhez használta Descartes -tételben. Más szóval, érintők lesznek mind az eredeti, mind a második körhöz. Ahhoz, hogy ezek a körök mindhárom kört érintjék, rajzolnia kell őket a nagy, eredeti körön belüli terület felső és alsó részén lévő szabad helyekre.
Ne feledje, hogy ezeknek a köröknek a sugara 1/3 lesz. Mérjen 1/3 részt a külső kör szélétől, majd rajzolja meg az új kört. Érintse meg mindhárom környező kört
7. lépés: Folytassa ezen a módon a körök hozzáadását
Mivel fraktálok, az Apollón -tömítések végtelenül összetettek. Ez azt jelenti, hogy egyre kisebb köröket adhat hozzá szíve tartalmához. Csak a szerszámok pontossága korlátozott (vagy ha számítógépet használ, a rajzolóprogram "nagyítása"). Minden körnek, bármilyen kicsi legyen is, érintőnek kell lennie három másik körrel. A Gasket minden következő körének megrajzolásához csatlakoztassa Descartes -tételéhez annak a három körnek a görbületeit, amelyek érintői lesznek. Ezután a válaszával (amely az új kör sugara lesz) pontosan rajzolja meg az új kört.
- Ne feledje, hogy a rajzolt tömítés szimmetrikus, így az egyik kör sugara megegyezik a "vele szemben" megfelelő körével. Ne feledje azonban, hogy nem minden apollóniai tömítés szimmetrikus.
-
Tekintsünk még egy példát. Tegyük fel, hogy az utolsó körkészletünk megrajzolása után most azokat a köröket szeretnénk rajzolni, amelyek érintik a harmadik halmazunkat, a második halmazunkat és a nagy külső körünket. Ezeknek a köröknek a görbülete 3, 2 és -1. Csatlakoztassuk ezeket a számokat Descartes tételéhez, a = -1, b = 2 és c = 3 beállítással:
- d = a + b + c ± 2 (négyzet (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (négyzet (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (négyzet (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (négyzet (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Két válaszunk van! Mivel azonban tudjuk, hogy az új körünk kisebb lesz, mint bármelyik kör, amelyet érint, csak görbület
6. lépés. (és ezért sugara 1/6) van értelme.
- Másik válaszunk, a 2, valójában a hipotetikus körre vonatkozik, második és harmadik körünk érintőpontjának másik oldalán. Ezt a kört van érintő mindkét körhöz és a nagy külső körhöz, de metszi a már megrajzolt köröket, így figyelmen kívül hagyhatjuk.
Lépés 8. Ha kihívást szeretne, próbáljon meg nem szimmetrikus Apollón-tömítést készíteni a második kör méretének megváltoztatásával
Minden Apollón -tömítés ugyanúgy kezdődik - egy nagy külső körrel, amely a fraktál széléül szolgál. Azonban nincs ok arra, hogy a második körének feltétlenül az 1/2 -es sugarúnak kell lennie - mi csak ezt választottuk fent, mert egyszerű és könnyen érthető. A szórakozás kedvéért próbáljon új tömítést indítani egy másik, más méretű körrel - ez izgalmas, új felfedezési utakhoz vezet.
